已知椭圆小x^2/a^2+y^2/b^2=1

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 00:03:44
已知椭圆小x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)内一点A，F1为左焦点，在椭圆上求一点P，使|PF1|+|PA|取得最值。

点A的位置：椭圆内部，第1象限，不在对称轴上。
给出详细过程！！！

打过程太麻烦了，给你提下思路好了
设P（A,B），过P作PM垂直左准线
P到F1的距离/P到左准线的距离＝离心率
就可以把|PF1|+|PA|转化为|PM|和|PA|的关系，只要3点共线，就是最小值

因|PF1|+|PF2|=2a
=> |PF1|+|PA|=2a-|PF2|+|PA|
在△PAF2中两边之差小于第三边
|PA|-|PF2|≤|AF2|,|PF2|-|PA|≤|AF2|
=> 2a-|AF2|≤|2a-|PF2|+|PA|≤2a+|AF2|
因A点在第一相限，故当P在F2A的延长线上时取得最小值（此时P点在x轴上方），当P在AF2的延长线上时取得最大值（此时P点在x轴下方）
因A点为已知点，可求得直线AF2方程
将方程代入椭圆方程消去x得到关于y的二次方程
当根为正数时为最小值点，为负根时为最大值点。

∵知a^2，b^2，∴c^2＝a^2-b^2，可求得离心率e,及左焦点F1的坐标.
设P到左准线的距离为d，则|PF1|＝ed
∴|PA|＋|PF1|＝|PA|＋ed
由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标小于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|＋ed最小
因为A点坐标已知,设为(m,n) [且m,n均>0,m^2/a^2+m^2/b^2<1]
把y=n代入椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1,可解得x值(正的舍去)
所解得的P(x,n)即为所求.